Kit Graphique de Gérard TeKa     


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Un papier et un crayon  sont recommandés

Tracer un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon donné
 On trace le cercle puis un diamètre vertical, on place I le milieu du rayon [OD]. A sera le premier sommet du futur pentagone.

Remarque si le rayon vaut 1, alors OI = 1/2 et AI² 5/4 (Pythagore)

donc AI=  V¯5 / 2

On trace le cercle de centr  e I et de rayon IA et on obtient J sur le diamètre horizontal

On trace le cercle de centre A et de rayon AJ. On obtient E et F sur le cercle.

Remarque IJ = AI et OI=1/2 donc

OJ= (V¯5 / 2)-1/2 = (V¯5-1) / 2

On reporte 5 fois AF sur le cercle à partir de A et on retrouve E.

En joignant un sommet sur 2, on obtient l'étoile à 5 branches !

Il existe de nombreuses autres constructions, à partir du rayon imposé. On peut aussi imposer un côté ou autre chose !

Preuve: Elle utilise le théorème de Pythagore dans le triangle OAJ et la définition du sinus dans le demi triangle OAE qui est rectangle.

OJ² = (V¯5-1) ²/ 4 ou (6-2V¯5)/4 donc AJ² =(5-V¯5)/2 = AE² (côté du futur pentagone au carré).

Si H désigne le milieu de [AE] alors AH² = AE² / 4 = (5-V¯5)/8

puis AH²/OA² = (5-V¯5)/8 car OA= 1² =1.

D'autre part (sin 36°)² = 0.3454915028 .........et 

(5-V¯5)/8 = 0.3454915028 ........., ce qui prouve que l'angle AÔH vaut 36° puis que  AÔE vaut deux fois 36° soit 72°.

Mais 72 fois 5 vaut 360 donc en reportant 5 fois AE, on fermera le pentagone !

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